Question

11．已知实数u、v满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3u+2v-12≥0}\\{9u-4v+36≥0}\\{u-4≤0}\end{array}\right.$，则z=$\sqrt{\frac{{u}^{2}}{4}+\frac{{v}^{2}}{9}}$的最小值等于（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 令x=$\frac{u}{2}$，y=$\frac{v}{3}$，作出用x，y表示的可行域，则z表示原点到可行域的距离．

解答 解：令x=$\frac{u}{2}$，y=$\frac{v}{3}$，则z=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$．
则约束条件变为：$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{3x-2y+6≥0}\\{x-2≤0}\end{array}\right.$．
作出可行域如图所示：
∵z=$\sqrt{\frac{{u}^{2}}{4}+\frac{{v}^{2}}{9}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
∴z的最小值为原点O到直线x+y-2=0的距离．
最小距离为d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了简单的线性规划，距离公式的应用，使用变量代换，结合图象得出最优解是解题关键．