Question

在三棱锥A-BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，AB=AC=AD=4．点P，Q分别在侧面ABC，棱AD上运动．PQ=2，M为线段PQ的中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A-BCD分成两部分的体积之比等于（　　）

• A、1：63
• B、1：（16

  2

  -1）
• C、π：（64-π）
• D、π：（14-π）

Answer 1

分析：由已知中三棱锥A-BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，AB=AC=AD=4，我们易计算出三棱锥A-BCD的体积，
又由点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，我们可以判断M的轨迹为

1

8

球面，分别计算两个几何体的体积，进而得到答案．

解答：解：∵AD⊥AB，AD⊥AC，AB∩AC=A，∴AD⊥平面ABC，AP?平面ABC，
∴△PAQ为直角三角形，M为斜边PQ的中点，∴AM=

1

2

PQ=1，
∴M的轨迹是以A为球心，1为半径的八分之一球面，
V₁=

1

8

×

4

3

π×1³=

π

6

，V₂=

1

3

×

1

2

×4×4×4-

π

6

=

64-π

6

，
∴

V1

V2

=

π

64-π

．
故选C．

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积及球的体积，其中判断出M的轨迹在以A为球心以1半径的球面上是解答本题的关键．