Question

5．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当3≤x≤9时，f（x）=3^-|x-m|+n，f（6）=111，
（I）求m、n的值：
（Ⅱ）当0≤x₀≤6时，求满足f（x₀）＞$\frac{331}{3}$的实数x₀的取值范围：
（Ⅲ）比较f（log₃m）与f（log₃n）的大小．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=f（x+6），可知6是函数f（x）的一个周期，则有f（3）=f（9）再由f（6）=111，组成方程组求解，可得m，n的值；
（2）运用函数周期性求得x∈[-3，3]的函数的解析式，讨论当0≤x₀≤3时，当3≤x₀≤6时，求得不等式的解集，即可得到所求范围； 
（3）f（log₃m）=f（log₃6）=f（6+log₃6），f（log₃n）=f（log₃110），运用已知解析式，代入再利用函数的单调性比较．

解答 解：（1）因为函数f（x）在R上满足f（x）=f（x+6），
所以6是函数f（x）的一个周期．
可得f（3）=f（9），即3^-|3-m|+n=3^-|9-m|+n，①
又f（6）=111，即3^-|6-m|+n=111，②
联立①②组成方程组解得m=6，n=110；
（2）由（1）知，函数f（x）=3^-|x-6|+110，x∈[3，9]．
当-3≤x≤3，可得3≤x+6≤9，
即有f（x）=f（x+6）=3^-|x|+110，x∈[-3，3]，
当0≤x₀≤3时，f（x₀）＞$\frac{331}{3}$即为3^-|x₀|+110＞$\frac{331}{3}$，
解得-1＜x₀＜1，即为0≤x₀＜1；
当3≤x₀≤6时，f（x₀）＞$\frac{331}{3}$即为3^-|x₀-6|+110＞$\frac{331}{3}$，
解得-1＜x₀-6＜1，即5＜x₀＜7，即为5＜x₀≤6．
综上可得，实数x₀的取值范围是[0，1）∪（5，6]；
（3）f（log₃m）=f（log₃6）=f（6+log₃6），
由于7＜6+log₃6＜8，即有f（6+log₃6）=110+3^-log₃6，
由于4＜log₃110＜5，
则f（log₃n）=f（log₃110）=110+3^{-|log₃110-6|}，
=110+3^6-log₃110，
由-log₃6＜6-log₃110，
可得f（6+log₃6）＜f（log₃110），
即为f（log₃m）＜f（log₃n）．

点评 本题主要考查函数的周期性，单调性以及用方程思想的运用，主要考查对数函数的单调性和运算能力，属于中档题．