Question

16．如图，椭圆C₁：x²+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左、右顶点分别为A，B，点P为双曲线C₂：x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1在第一象限内的图象上一点，直线AP，BP与椭圆C₁分别交于C，D两点．C是AP的中点．
（1）求点P，C的横坐标；
（2）若直线CD过椭圆C₁的右焦点，求椭圆C₁的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得A（-1，0），B（1，0），设P（m，n），代入双曲线的方程，由中点坐标公式以及椭圆方程，解方程可得P，C的横坐标；
（2）求得椭圆的右焦点F坐标，求出直线PB的方程，代入椭圆方程，求得D的坐标，再由C，D，F共线，可得F的横坐标为$\frac{1}{2}$，可得b，进而得到椭圆方程．

解答 解：（1）由题意可得A（-1，0），B（1，0），设P（m，n），
可得中点C的坐标为（$\frac{m-1}{2}$，$\frac{n}{2}$），
即有m²-$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（$\frac{m-1}{2}$）²+$\frac{{n}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，
解方程可得m=2（-1舍去），n=$\sqrt{3}$b，
即有P，C的横坐标为2和$\frac{1}{2}$；
（2）椭圆C₁的右焦点为（$\sqrt{1-{b}^{2}}$，0），
直线PB的方程为y=$\sqrt{3}$b（x-1），
代入椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）可得
2x²-3x+1=0，解得x=1或x=$\frac{1}{2}$，
即有D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），
由直线CD过椭圆C₁的右焦点，
可得$\sqrt{1-{b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，解得b²=$\frac{3}{4}$，
则椭圆方程为x²+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，以及双曲线的方程的运用，考查中点坐标公式和直线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．