Question

15．如图为函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，若点A、B分别为函数f（x）的最高点与最低点，且|AB|=5，那么f（-1）=（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． -$\sqrt{3}$
• D． -2

Answer 1

分析 根据图形可看出M=2，可过A作x轴垂线，过B作y轴垂线，两条垂线交于点C，并连接AB，容易得到BC=3，从而f（x）的周期为6，这便可得出$ω=\frac{π}{3}$，从而得出$f（x）=2sin（\frac{π}{3}x+φ）$．根据点（0，1）在图象上，从而可得到$sinφ=\frac{1}{2}$，根据φ的范围可得到$φ=\frac{π}{6}，或\frac{5π}{6}$，f（x）=$2sin[\frac{π}{3}（x+\frac{3φ}{π}）]$，根据平移知识便有$\frac{3φ}{π}＞\frac{3}{2}$，从而得出φ的范围，从而得出f（x），这样即可求出f（-1）．

解答 解：如图，分别过A，B作x轴，y轴的垂线，交于C点，并连接AB；
在Rt△ABC中，|AB|=5，|AC|=4；
∴|BC|=3；
∴f（x）的周期T=6；
∴$\frac{2π}{ω}=6$；
∴$ω=\frac{π}{3}$，又A=2；
∴$f（x）=2sin（\frac{π}{3}x+φ）$；
由图看出（0，1）在f（x）上；
∴2sinφ=1；
∴$sinφ=\frac{1}{2}$，0≤φ≤π；
∴φ=$\frac{π}{6}$，或$\frac{5π}{6}$；
$f（x）=2sin[\frac{π}{3}（x+\frac{3φ}{π}）]$，根据图象看出$\frac{3φ}{π}＞\frac{3}{2}$；
∴$φ＞\frac{π}{2}$；
∴$φ=\frac{5π}{6}$；
∴$f（x）=2sin（\frac{π}{3}x+\frac{5π}{6}）$；
∴$f（-1）=2sin\frac{π}{2}=2$．
故选A．

点评 考查函数f（x）=Msin（ωx+φ）中系数M，ω，φ对图象的影响，以及函数f（x）的振幅、周期，以及相位的概念及其求法，函数图象沿x轴方向上的平移变换．