Question

如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正半轴相交于两点M，N  (点M在点N的右侧），且。椭圆D：的焦距等于，且过点

( I ) 求圆C和椭圆D的方程；
(Ⅱ) 若过点M的动直线与椭圆D交于A、B两点，若点N在以弦AB为直径的圆的外部，求直线斜率的范围。

Answer 1

（1），
（2）

试题分析：）解：（1）设圆半径为r, 由条件知圆心C（r,2）

∵圆在x轴截得弦长MN=3
∴ ∴r=
∴圆C的方程为：  （3分）
上面方程中令y=0,得 解得x=1或x="4," ∵点M在点N的右侧
∴M（4,0）,N(1,0)
∵椭圆焦距2c=2=2  ∴c=1   ∴椭圆方程可化为：
又椭圆过点（ 代入椭圆方程得：
解得或（舍）   ∴椭圆方程为：           （6分）
（2）设直线l的方程为：y="k(x-4)" 代入椭圆方程化简得：
（
△=32＞0       ＜
设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)      则x₁+x₂=   x₁x₂=       (7分)
∵点N在以弦AB为直径的圆的外部，＞0
∴（＞0
即：＞0
-（+＞0
化简得：＞        ∴＜＜    ∴k∈       
点评：主要是考查了圆的方程，以及椭圆性质的运用，并联立方程组设而不求的数学思想的运用，属于中档题。