Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN∥平面ABCD；
（Ⅲ）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过证明BC⊥平面PAB，即可证明平面PBC⊥平面PAB；
（Ⅱ）在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，利用线面平行的判定定理，证明MN∥平面ABCD；
（Ⅲ）AM的长就是点A到MN的距离，A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离．

解答 证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，AB⊥BC．…．（1分）
因为PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
所以PA⊥BC．…．（2分）
又AB∩PA=A，AB，PA?平面PAB，…．（3分）
所以BC⊥平面PAB．…．（4分）
因为BC?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAB．…．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以BC⊥PB．…．（6分）
在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，
所以MN∥BC，…．（7分）
又BC?平面ABCD，MN?平面ABCD，…．（9分）
所以MN∥平面ABCD．…．（10分）
解：（Ⅲ）因为MN∥BC，
所以MN⊥平面PAB，…．（11分）
而AM?平面PAB，
所以MN⊥AM，…．（12分）
所以AM的长就是点A到MN的距离，…．（13分）
而点M在线段PB上
所以A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离，
在Rt△PAB中，AB=3，PA=4，
所以A到直线MN的最小值为$\frac{12}{5}$．…．（14分）

点评 本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查线面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．