Question

3．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=2AB=2，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，E为PD的中点，在平面PCD内作EF⊥PC于点F．
（1）求证：F为PC的中点；
（2）求点F到平面ACE的距离．

Answer 1

分析 （1）由直线与平面垂直的判断与性质，可得EF∥CD，证明E为PD的中点，即可证明F为PC的中点；
（2）利用等体积法，可得点F到平面ACE的距离．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵∠ACD=90°，
∴AC⊥CD，
∵PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，
∴CD⊥PC，
∵EF⊥PC，EF?平面PCD，CD?平面PCD，
∴EF∥CD，
∵E为PD的中点，
∴F为PC的中点；
解：（2）连接AF，
∵CD⊥平面PAC，EF∥CD，
∴EF⊥平面PAC．即EF为三棱锥E-AFC的高
∵CD=2$\sqrt{3}$，
∴EF=$\sqrt{3}$，
从而V_E-FAC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}×2×2）×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
在Rt△PAD中，AE=CE=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{5}$
于是S_△AEC=$\frac{1}{2}AC•\sqrt{5-1}$=2，
设F到平面AEC的距离为h
由V_E-FAC=V_F-AEC即$\frac{1}{3}×2h=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故F到平面AEC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$------------（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判断与性质，点到平面的距离的距离的求法，等体积方法的应用，考查转化思想以及计算能力．