Question

20．函数y=0.25${\;}^{{x}^{2}-2x+\frac{1}{2}}$的值域是（0，2]，单调增区间是（-∞，1]．

Answer 1

分析 利用配方法求出指数上的二次三项式的范围，结合指数函数的单调性求得值域，再由复合函数的单调性求得原函数的单调增区间．

解答 解：令t=${x}^{2}-2x+\frac{1}{2}$，
则y=0.25${\;}^{{x}^{2}-2x+\frac{1}{2}}$=g（t）=0.25^t，
由t=${x}^{2}-2x+\frac{1}{2}$=$（x-1）^{2}-\frac{1}{2}$$≥-\frac{1}{2}$，
∴g（t）=0.25^t∈（0，2]；
∵t=${x}^{2}-2x+\frac{1}{2}$在（-∞，1]上为减函数，且g（t）=0.25^t为减函数，
∴函数y=0.25${\;}^{{x}^{2}-2x+\frac{1}{2}}$的增区间为（-∞，1]．
故答案为：（0，2]，（-∞，1]．

点评 本题考查与指数函数有关的复合函数的单调性和值域的求法，属中档题．