Question

3．已知直线2x-2y-1=0与抛物线C：x²=2py（p＞0）相切．
（1）求p的值；
（2）过点M（0，1）作直线l与抛物线C交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线分别为l₁，l₂，直线l₁，l₂交于点P，求点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）抛物线C：x²=2py的方程可可化为：y=$\frac{1}{2p}$x²，则y′=$\frac{x}{p}$，根据切线斜率为1，求出切点坐标为（p，p-$\frac{1}{2}$），代入抛物线方程可得p的值；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为y=kx+1，联立抛物线方程可得x₁+x₂=2k，x₁•x₂=-2，求出两条切线的方程，进而求出交点P的坐标，进而可得点P的轨迹方程．

解答 解：（1）抛物线C：x²=2py的方程可可化为：y=$\frac{1}{2p}$x²，
则y′=$\frac{x}{p}$，
∵直线2x-2y-1=0与抛物线C：x²=2py（p＞0）相切，直线2x-2y-1=0的斜率为1，
故切点坐标为（p，p-$\frac{1}{2}$），
代入抛物线C：x²=2py得：p²=2p²-p，
解得：p=1；
（2）显然直线l的斜率存在，
故可设直线l的方程为y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x}^{2}=2y\end{array}\right.$，得x²-2kx-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=2k，x₁•x₂=-2．
∵抛物线C的方程为y=$\frac{1}{2}$x²，
求导得y′=x，
∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是y-$\frac{1}{2}$x₁²=x₁（x-x₁），y-$\frac{1}{2}$x₂²=x₂（x-x₂），
即 y=x₁x-$\frac{1}{2}$x₁²，y=x₂x-$\frac{1}{2}$x₂²，
解得两条切线l₁、l₂的交点P的坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$x₁x₂），
即P（k，-1），
故点P的轨迹方程为直线p=-1．

点评 本题考查的知识点是抛物线的简单方程，导数法求曲线的切线方程，直线与圆锥曲线的位置关系，直线的交点坐标，轨迹方程，难度中档．