Question

10．如图，设P是圆x²+y²=6上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点，且$|{DP}|=\sqrt{2}|{DM}|$．
（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）直线$x+y-\sqrt{3}=0$与曲线C相交于E、G两点，F、H为曲线C上两点，若四边形EFGH对角线相互垂直，求S_EFGH的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意P是圆x²+y²=6上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且$|{DP}|=\sqrt{2}|{DM}|$，利用相关点法即可求轨迹；
（2）联立直线方程与椭圆方程，求出|EG|，再由题意设出FH所在直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得|FH|的最大值，代入四边形面积公式求得答案．

解答 解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x_p，y_p）
由已知$|{DP}|=\sqrt{2}|{DM}|$得：x_p=x，y_p=$\sqrt{2}$y，
∵P是圆x²+y²=6上的动点，
∴x²+2y²=6，即$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-\sqrt{3}=0}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得$3{x}^{2}-4\sqrt{3}x=0$．
解得：${x}_{E}=0，{x}_{G}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴|EG|=$\sqrt{2}|{x}_{E}-{x}_{G}|$=$\sqrt{2}×\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
由题意可设F、H所在直线方程为y=x+m．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-6=0．
由△=16m²-12（2m²-6）=-8m²+72＞0，得-3＜m＜3．
${x}_{F}+{x}_{H}=-\frac{4m}{3}$，${x}_{F}•{x}_{H}=\frac{2{m}^{2}-6}{3}$．
|FH|=$\sqrt{2}\sqrt{（-\frac{4m}{3}）^{2}-4•\frac{2{m}^{2}-6}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{72-8{m}^{2}}$．
∴当m=0时，|FH|_max=4．
∴$（{S}_{EFGH}）_{max}=\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{6}}{3}×4=\frac{8\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．