Question

设为数列的前项和，对任意的，都有为常数，且．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的公比，数列满足，求数列的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和．

Answer 1

（1）证明：当时，，解得．…………………1分
当时，．即．………2分
又为常数，且，∴．          ………………………3分
∴数列是首项为1，公比为的等比数列．     　……………………4分
（2）解：由（1）得，，．  ………………………5分
∵，∴，即．………7分
∴是首项为，公差为1的等差数列．………………………………………8分
∴，即（）．………………………9分
（3）解：由（2）知，则．
所以，                     ………………10分
即，     ① ……11分
则，   ②………12分
②－①得，     ……………………13分
故．  ………………14分

本题主要考查等比数列的性质．当出现等比数列和等差数列相乘的形式时，求和可用错位相减法．
（1）当n≥2时，根据an=Sn-Sn-1，进而得出an和an-1的关系整理得a_na_n-1 =m( 1+m) ，因m为常数，进而可证明当n≥2时数列{an}是等比数列．，当n=1时等式也成立，原式得证．
（2）根据（1）可得f（m）的解析式．再根据bn=f（bn-1）整理可得（1 bn） -（1 b_n-1） =1进而推知数列{bn}为等差数列，首项为2a1，公差为1，再根据等差数列的通项公式可得答案．
（3）把（2）中的bn代入{2ⁿ⁺¹b_n }，再通过错位相减法求得Tn