Question

已知数列的前项和为，点在直线上．数列满足
，，且其前9项和为153.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得，                         
                                            …………1分
当时，
         …………3分
当时，也符合上式．     （没有检验扣1分）                       
 ，   .                                    …………4分
由知是等差数列，             …………5分
由的前9项和为153，可得，
得，又，                        
∴的公差，                         
由，得，
∴，   .                                  …………7分
（Ⅱ），                   …………9分

                                            …………10分
∵增大， 减小 ， 增大，
∴是递增数列．                   
∴. 即的最小值为                          …………12分
要使得对一切都成立，只要，
，则.                                     …………14分

本试题主要是考查了数列的通项公式的求解和求和的运用。
（1））由已知得，利用前n项和与通项公式的关系得到通项公式的结论。
（2）因为，利用裂项求和得到结论。，并证明不等式。