Question

如图四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面是正方形，O是底面的中心，A′O=1，AB=AA′=A′D=A′B=

2

．
（1）证明：平面A′BD∥平面B′CD′；
（2）求三棱锥C-ADD′的体积V_C-ADD′．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出A′BCD′是平行四边形，从而得到A′B∥面B′CD′，由此能够证明平面A′BD∥平面B′CD′．
（2）先证明A′O⊥平面ABCD，再求三棱锥C-ADD′的体积V_C-ADD′．

解答： （1）证明：在四棱柱中，
∵BC∥A′D′，且BC=A′D′，
∴A′BCD′是平行四边形，
∴A′B∥CD′，
又∵A′B?平面B′CD′，CD′?B′CD′，
∴A′B∥面B′CD′，
又A′B?面A′BD，A′D?面A′BD，且A′B∩A′D=A′，
∴平面A′BD∥平面B′CD′．
（2）解：∵A′O=1，AB=AA′=A′D=

2

．
∴A′O²+OA²=AA^'2，A′O²+OB²=A′B²，
∴A′O⊥OA，A′O⊥OB，
∴A′O⊥平面ABCD，
∴V_C-ADD′=V_D′-ACD=V_A′-ACD=

1

3

S_△ACD•A′O=

1

3

．

点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查三棱锥C-ADD′的体积V_C-ADD′，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．