Question

13．（1）已知函数f（x）=|x+2a|+|x-$\frac{2}{a}$|≥5（a＞0）对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
（2）求函数g（x）=3$\sqrt{x-3}$+4$\sqrt{4-x}$的最大值及g（x）取最大值时x的值．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式性质公式求解即可；
（2）利用柯西不等式求解，并判断等号成立的条件．

解答 解：（1）∵a＞0，
∴|x+2a|+|x-$\frac{2}{a}$|≥|（x+2a）-（x-$\frac{2}{a}$）|=2a+$\frac{2}{a}$≥5，
∴0＜a$≤\frac{1}{2}$或a≥2．
（2）g（x）=3$\sqrt{x-3}$+4$\sqrt{4-x}$≤$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}\sqrt{（{\sqrt{x-3}）}^{2}+（\sqrt{4-x}）^{2}}$=5，
当且仅当4$\sqrt{x-3}$=3$\sqrt{4-x}$时，即x=$\frac{84}{25}$时等号成立，
故当x=$\frac{84}{25}$时，g（x）有最大值5．

点评 本题考查绝对值不等式的性质、柯西不等式的应用，难点是学生的运算求解能力．