Question

如图，由抛物线C₁：y²=4x与C₂：y²=8（3-x）围成一个封闭图形OACB，F是抛物线的焦点，直线y=h（h＜2）交两弧于P、Q两点，则当h=

 

时，h|PQ|最大．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：利用直线的方程两个抛物线的方程求出点的坐标，在求出距离，把h|PQ|转化关于h的式子，最后利用导数解决问题

解答： 解：抛物线C₁：y²=4x与C₂：y²=8（3-x），直线y=h（h＜2）
∵抛物线C_1和C₂都与直线y=h（h＜2）相交，且交点为p，Q
∴P（

h2

4

，h），Q（3-

h2

8

，h）
|PQ|=3-

3h2

8

  即h|PQ|=3h-

3h3

8

 
设f（h）=3h-

3h3

8

   h＜2
可得f（h）′=3-

9h2

8

 h＜2，令3-

9h2

8

=0得h=

2 6

3

由f（h）′＞0，h＜

2 6

3

；f（h）′＜0  

2 6

3

＜h＜2 
所以f（h）=3h-

3h3

8

  h＜2，在区间（-∞，

2 6

3

）上单调递增，在区间（

2 6

3

，2）上单调递减
故当h=

2 6

3

  h|PQ|最大

点评：本题考察了用函数的思想解决圆锥曲线的最值问题，因为是三次函数必需借助导数才能解决