Question

在xOy平面上，将双曲线的一支

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0）及其渐近线y=

4

3

x和直线y=0，y=4围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω．过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω的体积为

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：规律型

分析：由已知中过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω的体积．

解答： 解：在xOy平面上，将双曲线的一支

x2

9

-

y2

16

=1(x＞0)及其渐近线y=

4

3

x和直线y=0，y=4围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．
则直线y=a与渐近线y=

4

3

x交于一点A（

3

4

a，a）点，与双曲线的一支

x2

9

-

y2

16

=1（x＞0）交于B（

3

4

a2+16

，a）点，
记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω．
过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，
则截面面积S=π[(

3

4

a2+16

)2-(

3

4

a)2]=9π，
利用祖暅原理得Ω的体积相当于底面面积为9π高为4的圆柱的体积，
∴Ω的体积V=9π×4=36π，
故答案为：36π

点评：本题考查的知识点是类比推理，其中利用祖暅原理将不规则几何体的体积转化为底面面积为9π高为4的圆柱的体积，是解答的关键．