Question

已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AB=1，AC=AD=CD=DE=2，F为CE的中点．
（I）求证：AF⊥CD；
（II）求平面ACD与平面BCE夹角的大小；
（III）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析：（I）取CD的中点O，连接AO、OF，则OF∥DE，结合AC=AD=CD=DE=2，DE∥AB，我们易得到DE⊥平面ACD，进而得到CD⊥平面AOF，由线面垂直的性质，我们可以得到AF⊥CD；
（II）以O为坐标原点，分别以OF、OD、OA为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，求出各个顶点的坐标，进而求出平面ACD的法向量与平面BCE的法向量，代入向量夹角公式，即可得到平面ACD与平面BCE夹角的大小；
（III）作CG⊥AD于G，可知CG是C-ABED的高，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥的体积公式，即可得到答案．

解答：证明：（I）取CD的中点O，连接AO、OF，则OF∥DE
∵AC=AD，
∴AO⊥CD
∵DE∥AB
∴DE⊥平面ACD
∴DE⊥CD，OF⊥CD，又AO∩OF=O
∴CD⊥平面AOF
∵AF?平面AOF
∴AF⊥CD．（4分）
解：（ II）以O为坐标原点，分别以OF、OD、OA为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，如图
所以A(0，0，

3)，

B(1，0，

3

)，C(0，-1，0)，D(0，1，0)，E(2，1，0)，

CB

=(1，1，

3

)，

CE

=(2，2，0)，
设

n

=(x，y，z)是平面BCE的一个法向量，
由

n ⊥ CB n ⊥ CE

得

2x+2y=0 x+y+ 3 z=0

取

n

=(1，-1，0)，（6分）
易知

m

=(1，0，0)是平面ACD的一个法向量，
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2 •1

=

2

2

，
于是平面ACD与平面BCE的夹角等于

π

4

．（8分）
（III）作CG⊥AD于G，可知CG是C-ABED的高h，易求h=

3

，（10分）
VABCDE=

1

3

SABED•h=

1

3

•

1

2

(AB+DE)•AD•

3

=

3

（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质及二面角的平面角及求法，棱锥的体积，在使用向量法求二面角的大小时，建立坐标系，求出平面的法向量是关键．