Question

已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CE的中点．
（1）求证：AF⊥CD；
（2）求直线AC与平面CBE所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）取CD的中点G，连接AG、GF，则GF∥DE，利用线面垂直的判断性质得到DE⊥CD，GF⊥CD，利用线面垂直的判断得到CD⊥平面AGF，AF?平面AGF得到AF⊥CD．
（2）方法一：建立空间直角坐标系G-xyz，求出平面CBE的法向量，利用向量的数量积公式求出直线AC与平面CBE所成角的大小．
方法二：利用线面垂直的判定定理证得PC⊥平面CDE，得到点A到平面PCE的距离即为点D到平面PCE的距离的一半，通过解三角形求出直线AC与平面CBE所成角的大小．

解答：解：法一：（1）取CD的中点G，连接AG、GF，则GF∥DE
∵AC=AD，
∴AG⊥GD…（2分）
∵DE⊥平面ACD
∴DE⊥CD
∴GF⊥CD  …（4分）
∴CD⊥平面AGF
∵AF?平面AGF
∴AF⊥CD …（6分）
（2）如图建立空间直角坐标系G-xyz，则B（0，1，

3

），C（-1，0，0），E（1，2，0）

CB

=(1，1，

3

)，

CE

=(2，2，0)，

CA

=(1，0，

3

）
设平面CBE的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • CB =x+y+ 3 z=0 n • CE =2x+2y=0

设x=1，则

n

=(1，-1，0)…(9分)
cos＜

CA

，

n

＞=

CA • n

| CA |•| n |

=

2

4

，
∴直线AC与平面CBE所成角的大小为arcsin

2

4

…（12分）
法二：（1）同解法一
（2）∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD
∴AB∥DE
延长DA、EB交于点P，连接PC   …（7分）
∵AB=1，DE=2
∴A为PD的中点，又G为CD的中点
∴PC∥AG
∴PC⊥CD，PC⊥DE
∴PC⊥平面CDE  …（9分）
∵点A到平面PCE的距离即为点D到平面PCE的距离的一半，
即h=

2

2

…（11分）
设直线AC与平面CBE所成角为θ，
则sinθ=

h

AC

=

2

4

，
∴θ=arcsin

2

4

…（12分）

点评：解决立体几何中的线、面的位置关系或度量关系，常用的方法是通过建立空间直角坐标系，转化为向量的问题来解决．