Question

如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥面ACD，DE⊥面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1．
（Ⅰ）求证：AB∥面CDE；
（Ⅱ）在线段AC上找一点F使得AC⊥面DEF，并加以证明；
（Ⅲ）在线段CD是否存在一点M，使得BC∥面AEM，若存在，求出CM的长度；否则，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证AB∥面CDE，只需证明AB平行平面CDE中的一条直线即可，因为AB⊥面ACD，DE⊥面ACD，平行与同一条直线的两直线平行，所以AB∥DE，而DE是平面CDE中的直线，AB不再平面CDE中，所以AB∥面CDE．
（Ⅱ）要想使AC⊥面DEF，只需AC垂直平面DEF上的两条相交直线，因为DE⊥面ACD，所以AC垂直DE，所以只需AC垂直EF或DF即可，因为三角形ACD为正三角形，所以只需取AC的中点则AC垂直于DF，证明过程只需把分析过程倒过来即可．
（Ⅲ）先利用成比例线段找到点M的位置，是cd上靠近点C的三等分点，在由CD长求出CM长．

解答：证明：（Ⅰ）∵AB⊥面ACD，DE⊥面ACD，∴AB∥DE，
又∵AB?面CDE，∴AB∥面CDE．
解：（Ⅱ）取AC的中点F，连接FD、EF，∵DE⊥面ACD，∴DE⊥AC，在正三角形ACD中，显然AC⊥DF，
∴AC⊥面DEF
解：（Ⅲ）取CD靠近C的三等分点M，
连接BD交AE于N点，连接MN，在四边形ABDE中，AB∥DE，

AB

DE

=

1

2

=

BN

ND

=

CM

MD

，
∴在三角形BCD中，BC∥MN，MN?面AEM，∴BC∥面AEM．
且CM=

2

3

，

点评：本题主要考查立体几何中线面平行，线面垂直的证明，做题时综合考查了学生的识图能力，空间想象的能力以及计算能力．