Question

如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CE的中点．
（ I）求证：求证AF⊥CD；
（II）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析：（ I）取CD的中点O，连接AO、OF，则OF∥DE，利用线面垂直的判断性质得到DE⊥CD，OF⊥CD，利用线面垂直的判断得到CD⊥平面AOF，AF?平面AOF得到AF⊥CD．
（II）取AD中点G，根据AC=AD=CD=2，可得CG⊥AD，CG=

3

，利用平面ABED⊥平面ACD，可知CG⊥平面ABED，从而可求多面体ABCDE的体积．

解答：解：（ I）取CD的中点O，连接AO、OF，则OF∥DE，
∵AC=AD，
∴AO⊥CD
∵DE⊥平面ACD
∴DE⊥CD
∴OF⊥CD，
又AO∩OF=O
∴CD⊥平面AOF
∵AF?平面AOF
∴AF⊥CD．
（II）取AD中点G，
∵AC=AD=CD=2，
∴CG⊥AD，CG=

3

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD
∴平面ABED⊥平面ACD
∴CG⊥平面ABED
∵DE=2，AB=1
∴VABCDE=

1

3

SABED•CG=

1

3

•

1

2

(AB+DE)•AD•

3

=

3

．

点评：本题以多面体为载体，考查线面垂直，考查线线垂直，考查几何体的体积，解答的关键是正确运用线面垂直的判定定理．