Question

已知函数上为增函数，且，，．
（1）求的值；
（2）当时，求函数的单调区间和极值；
（3）若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．

Answer 1

（1）；
（2）函数的单调递增区间是，递减区间为，极大值；
（3）的取值范围为．

试题分析：（1）利用在上恒成立，
转化成在上恒成立，从而只需，
即，结合正弦函数的有界性，得到，求得；
（2）研究函数的单调性、极值，一般遵循“求导数，求驻点，讨论区间导数值的正负，确定单调性及极值”，利用“表解法”，往往形象直观，易于理解.
（3）构造函数，
讨论，时，的取值情况，根据在上恒成立，得到在上单调递增，利用大于0，求得.
试题解析：（1）由已知在上恒成立，
即，∵，∴，
故在上恒成立，只需，
即，∴只有，由知；            4分
（2）∵，∴，，
∴，
令，则，
∴，和的变化情况如下表：

	+	0
		极大值

即函数的单调递增区间是，递减区间为，有极大值；
7分
（3）令，
当时，由有，且，
∴此时不存在使得成立；
当时，，
∵，∴，又，∴在上恒成立，
故在上单调递增，∴，
令，则，
故所求的取值范围为．                          12分