Question

已知函数.
（1）设，试讨论单调性；
（2）设，当时，若，存在，使，求实数的
取值范围.

Answer 1

（1）当时，在上是增函数，在和上是减函数；当时，在上是减函数；当时，在上是增函数，在和上是减函数；（2）.

试题分析：（1）先求出的导数，，然后在的范围内讨论的大小以确定和的解集；（2）时，代入结合上问可知函数在在上是减函数，在上是增函数，即在取最小值，若，存在，使，即存在使得.从而得出实数的取值范围.注意不能用基本不等式，因为等号取不到，实际上为减函数.所以其值域为，从而，即有.
试题解析：（1）函数的定义域为，
因为，所以，
令，可得，，              2分
①当时，由可得，故此时函数在上是增函数.
同样可得在和上是减函数.               4分
②当时，恒成立，故此时函数在上是减函数.            6分
③当时，由可得，故此时函数在上是增函数，
在和上是减函数；              8分
（2）当时，由（1）可知在上是减函数，在上是增函数，
所以对任意的，有，
由条件存在，使，所以，              12分
即存在，使得，
即在时有解,
亦即在时有解,
由于为减函数，故其值域为，
从而，即有，所以实数的取值范围是.              16分