题目内容

11.P是棱长为2的正四面体内任意一点,则它到该正四面体各个面的距离之和等于$\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

分析 先求出正四面体的体积,利用正四面体的体积相等,求出它到四个面的距离.

解答 解:因为正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和,
设它到四个面的距离分别为a,b,c,d,
由于棱长为1的正四面体,故四个面的面积都是 $\frac{1}{2}$×2×2×sin60°=$\sqrt{3}$.
又顶点到底面的投影在底面的中心,此点到底面三个顶点的距离都是高的
,又高为2×sin60°=$\sqrt{3}$,
故底面中心到底面顶点的距离都是:$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
由此知顶点到底面的距离是 $\sqrt{{2}^{2}-({\frac{2\sqrt{3}}{3})}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$.
此正四面体的体积是 $\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×(a+b+c+d).
所以:a+b+c+d=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$.
故答案为:$\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

点评 本题是中档题,考查正四面体的体积的计算,转化思想的应用,考查空间想象能力,计算能力.

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