Question

19．等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，前n项和为S_n，求证：数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等差数列．

Answer 1

分析 由等差数列前n项和公式知S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d，从而可得$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁+（n-1）$\frac{d}{2}$，从而求得．

解答 证明：∵等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，前n项和为S_n，
∴S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁+（n-1）$\frac{d}{2}$，
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以a₁为首项，$\frac{d}{2}$为公差的等差数列．

点评 本题考查了等差数列的性质的判断与应用，同时考查了转化思想的应用．