Question

已知函数f（x）=x|x-a|，x∈[0，1]，该函数的最大值是

a2

4

，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：分类讨论：：（1）若a≤0，可得最大值为f（1）=1-a=

a2

4

，解方程验证可得a值；（2）若0＜a≤1，可得函数的最大值为f（

a

2

）=

a2

4

，符合题意；（3）当a＞1时，再分a≤2和a＞2讨论可得a的范围，综合可得．

解答： 解：（1）若a≤0，则当x∈[0，1]时，去绝对值可得f（x）=x（x-a），
可得f（x）在x∈[0，1]单调递增，故最大值为f（1）=1-a=

a2

4

，
解得a=-2-2

2

，或-2+2

2

，∵a≤0，∴a=-2-2

2

；
（2）若0＜a≤1，则当x∈[0，a]时，f（x）=-x（x-a），
当x∈（a，1]时，f（x）=x（x-a），
f（

a

2

）=

a2

4

，f（1）=1-a，结合0＜a≤1可得

a2

4

＞1-a，
∴函数的最大值为f（

a

2

）=

a2

4

，符合题意；
（3）若a＞1，则当x∈[0，1]时，f（x）=-x（x-a），当a≤2时，
函数最大值为f（

a

2

）=

a2

4

，符合题意，
当a＞2时，最大值为f（1）=1-a，不符合题意．
综上可得a的取值范围为：a=-2-2

2

，或0＜a≤2

点评：本题考查函数的值域和最值，涉及分类讨论的思想及二次函数的单调性和最值，属中档题．