Question

19．已知函数f（x）=|x-2a|+|x-a|，a∈R，a≠0．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＞3；
（Ⅱ）若b∈R，且b≠0，证明：f（b）≥f（a），并说明等号成立的条件．

Answer 1

分析 （I）将a=1代入，不等式化为具体的绝对值不等式，然后讨论解之；
（Ⅱ）由题知f（a）=|a|，f（b）=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|≥|2a-b+b-a|=|a|，得证．

解答 解：（Ⅰ）因为a=1，不等式变为|x-2|+|x-1|＞3，-----1
当x＞2时，有2x-3＞3，
∴x＞3-----2
当1≤x≤2时，有2-x+x-1＞3，
∴x∈φ-------3
当x＜1时，有3-2x＞3，
∴x＜0--------4
所以该不等式的解集为（-∞，0）∪（3，+∞）------5
证明：（Ⅱ）由题知f（a）=|a|，
f（b）=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|------7
≥|2a-b+b-a|=|a|-------8
即f（b）≥f（a），
所以等号成立的条件是：当且仅当2a-b与b-a同号或它们至少有一个为零．---10

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查了讨论的数学思想，属于中档题．