Question

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，其上顶点为A．已知△F₁AF₂是边长为2的正三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点Q（-4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记

MQ

=λ•

QN

，若在线段MN上取一点R使得

MR

=-λ•

RN

，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在请求出该定直线，若不在请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得c=1，a=2，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由题意知直线MN的斜率必存在，设其直线方程为y=k（x+4），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立方程组

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+4)

，得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0，由此利用向量知识、韦达定理，结合已知条件能求出点R在定直线x=-1上．

解答： （本小题满分10分）
解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，其上顶点为A，
△F₁AF₂是边长为2的正三角形，
∴c=1，a=2，…（1分）
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（3分）
（2）由题意知直线MN的余率必存在，设其直线方程为y=k（x+4），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立方程组

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+4)

，
消去y，得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0，
∴△=144（1-4k²）＞0，x1+x2=

-32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

，
由

MQ

=λ•

QN

，得-4-x₁=λ（x₂+4），
解得λ=-

x1+4

x2+4

，
设点R的坐标为（x₀，y₀），则由

MR

=-λ•

RN

，
得x₀-x₁=-λ（x₂-x₀），
解得x0=

x1-λx2

1-λ

=

x1+ x1+4 x2+4 x2

1+ x1+4 x2+4

=

2x1x2+4(x1+x2)

(x1+x2)+8

，
又2x1x2+4(x1+x2)=2×

64k2-12

3+4k2

+4×

-32k2

3+4k2

=

-24

3+4k2

，
（x₁+x₂）+8=

-32k2

3+4k2

+8=

24

3+4k2

，
从而x0=

2x1x2+4(x1+x2)

(x1+x2)+8

=-1，
故点R在定直线x=-1上．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点是否在在定直线上的判断与求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．