Question

15．已知函数f（x）=$\frac{ax+1}{2x-1}$．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若a=1，试判断f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调性，并证明你的结论；
（3）若函数f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
（2）若a=1，结合分式函数的单调性即可试判断f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调性；
（3）若函数f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，结合分式函数的单调性即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由2x-1≠0得x≠$\frac{1}{2}$，即函数的定义域为{x|x≠$\frac{1}{2}$}；
（2）若a=1，f（x）=$\frac{ax+1}{2x-1}$=$\frac{x+1}{2x-1}$=$\frac{\frac{1}{2}（2x-1）+\frac{1}{2}}{2x-1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}}{2x-1}$．
当x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）时，函数f（x）为减函数；
（3）f（x）=$\frac{ax+1}{2x-1}$=$\frac{\frac{a}{2}（2x-1）+1-\frac{a}{2}}{2x-1}$=$\frac{a}{2}$+$\frac{1-\frac{a}{2}}{2x-1}$，
若函数f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，
则1-$\frac{a}{2}$＜0，即a＞2，
即实数a的取值范围是（2，+∞）．

点评 本题主要考查函数定义域和单调性的判断和应用，利用分式函数的性质是解决本题的关键．