Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过右焦点作斜率为的直线交曲线于、两点，且，又点关于原点的对称点为点，试问、、、四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由.

Answer 1

(1);(2)详见解析.

试题分析：（1）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出，利用离心率及,求出，即可求出椭圆的标准方程；
（2）求出直线的方程，联立直线方程与椭圆方程，设，利用
，求出坐标，又点关于原点的对称点为点求出的坐标，推出线段的中垂线方程和，然后求出和的交点为，推出四点共圆．
试题解析：（1）由题意可得圆的方程为，
∵直线与圆相切，∴，即，        2分
又，及，得，所以椭圆方程为．     4分
（2）因直线过点，且斜率为，故有
联立方程组，消去，得          6分
设、，可得，于是.
又，得即          8分
而点与点关于原点对称，于是，可得点
若线段、的中垂线分别为和，，则有

联立方程组，解得和的交点为          10分
因此，可算得

所以、、、四点共圆，且圆心坐标为半径为    12分