Question

如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于两点， 的周长为8，且面积最大时，为正三角形．

（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，证明：点在以为直径的圆上.

Answer 1

(1) (2)证明过程详见解析

试题分析：
(1)利用椭圆的定义,可以得到三角形ABF₂的周长即为2a,则可以得到a的值,由椭圆的对称性,可以得到为正三角形当且仅当A点在椭圆的短轴端点,此时,则可得到c的值,再根据a,c,b之间的关系可得到b的值,进而得到椭圆E的方程.
(2)据题意,直线l与椭圆E相切于点P.设出点P的坐标,利用直线与椭圆相切,联立椭圆与直线的方程,判别式为0,即可用点P的坐标表示直线l的斜率,即得到直线l关于P坐标的表达式.联立直线l与直线x=4即可求出点Q的坐标,把P,Q的坐标带入内积式,证得即可.
试题解析：
(1)由题得,因为点A,B都在椭圆上,所以根据椭圆的定义有且,又因为 的周长为8,所以
, 因为椭圆是关于x,y,原点对称的,所以为正三角形当且仅当为椭圆的短轴定点,则,,故椭圆E的方程为.
(2)由题得,动直线l为椭圆的切线,故不妨设切点,因为直线l的斜率是存在且为,所以,则直线,联立直线l与椭圆E的方程得 ,.则直线l的方程为,联立直线l与直线得到点,则
,所以,即点M在以PQ为直径的圆上.