Question

A、B、C为△ABC内角，R为△ABC外接圆半径，r为△ABC内切圆半径．
（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（A，B，C≠

π

2

）；
（2）求证：2Rr=

abc

a+b+c

．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,三角形的面积公式

专题：三角函数的求值

分析：（1）根据内角和定理得A+B=π-C，代入两角和的正切公式化简即可；
（2）利用等面积法列出等式，再由

c

sinC

=2R得到sinC，代入化简即可．

解答： 证明：（1）由A+B+C=π，得A+B=π-C，
则tan(A+B)=-tanC=

tanA+tanB

1-tanAtanB

，
化简得，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
（2）由题意得，r为△ABC内切圆半径
则S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

r(a+b+c)，
又

c

sinC

=2R，得sinC=

c

2R

，代入上式得

1

2

ab

c

2R

=

1

2

r(a+b+c)，
化简得，2Rr=

abc

a+b+c

．

点评：本题考查两角和的正切公式，内角和定理，以及等面积法的应用，属于中档题．