Question

18．已知向量$\overrightarrow m$=（sin x，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow n$=（sinx，-cosx），设函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，若函数g（x）=-f（-x）．
（Ⅰ）求函数g（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值，并求出此时x的取值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）+g（$\frac{π}{12}$+$\frac{A}{2}$）=-$\sqrt{3}$，b+c=7，bc=8，求边a的长．

Answer 1

分析 （I）求出函数f（x）的解析式，并利用辅助角（和差角）公式化为正弦型函数，进而可得函数g（x）的解析式，进而可得函数g（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值，及最大值点；
（Ⅱ）根据f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）+g（$\frac{π}{12}$+$\frac{A}{2}$）=-$\sqrt{3}$，b+c=7，bc=8，解三角形，可得边a的长．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow m$=（sin x，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow n$=（sinx，-cosx），
∴函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=sin²x-$\sqrt{3}$sinxcosx=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}$-sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴g（x）=-f（-x）=-[$\frac{1}{2}$-sin（-2x+$\frac{π}{6}$）]=sin（2x+$\frac{5π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]时，2x+$\frac{5π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
故当2x+$\frac{5π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{6}$时，函数取最大值$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）∵f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）+g（$\frac{π}{12}$+$\frac{A}{2}$）
=$\frac{1}{2}$-sin[2（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$）]+sin[2（$\frac{π}{12}$+$\frac{A}{2}$）+$\frac{5π}{6}$]-$\frac{1}{2}$
=-2sinA
=-$\sqrt{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则cosA=$±\frac{1}{2}$，
∵b+c=7，bc=8，
∴当cosA=$-\frac{1}{2}$时，a²=b²+c²+bc=（b+c）²-bc=41，此时a=$\sqrt{41}$，
当cosA=$\frac{1}{2}$时，a²=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=25，此时a=5．

点评 本题考查的知识点是三角函数的恒等变量，三角函数的图象和性质，平面向量的数量积运算，难度中档．