Question

10．已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l₁，l₂，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．
①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；
②求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，建立方程，即可求曲线C的方程；
（2）①设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），直线l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理可求点P，Q的坐标，进而可确定直线PQ的方程，即可得到结论．
②由①|PQ|²=（2k-$\frac{2}{{k}^{2}}$）²+（2k+$\frac{2}{k}$）²=4[（k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$）²+（k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$）-2]，换元利用基本不等式求|PQ|的最小值．

解答 解：（1）设圆心C（x，y），则x²+4=（x-2）²+y²，
化简得y²=4x，
∴动圆圆心的轨迹的方程为y²=4x．
（2）①设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由题意可设直线l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），
与y²=4x联立得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0，x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=$\frac{4}{k}$．
所以点P的坐标为（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）．
由题知，直线l₂的斜率为-$\frac{1}{k}$，同理可得点Q的坐标为（1+2k²，-2k）．
当k≠±1时，有1+$\frac{2}{{k}^{2}}$≠1+2k²，此时直线PQ的斜率k_PQ=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$．
所以，直线PQ的方程为y+2k=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-1-2k²），
整理得yk²+（x-3）k-y=0，于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；
当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．
综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．
②由①|PQ|²=（2k-$\frac{2}{{k}^{2}}$）²+（2k+$\frac{2}{k}$）²=4[（k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$）²+（k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$）-2]，
记k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$=t
∵k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$≥2，∴t≥2，
∴|PQ|²=4[（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$]，
∴t=2，即k=±1时，|PQ|的最小值为4．

点评 本题考查轨迹方程，考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，具有一定的难度，解题的关键是直线与抛物线的联立，确定直线PQ的方程．