Question

5．定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，当x∈（0，π）且x≠$\frac{π}{2}$时，（x-$\frac{π}{2}$）f′（x）＞0，则函数y=f（x）-sinx在[-3π，π]上的零点个数为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 由题意x∈（0，π） 当x∈（0，π） 且x≠$\frac{π}{2}$时，（x-$\frac{π}{2}$）f′（x）＞0，以$\frac{π}{2}$为分界点进行讨论，确定函数的单调性，利用函数的图形，画出草图进行求解，即可得到结论

解答 解：∵当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，f（x）为偶函数，
∴当x∈[-π，2π]时，0＜f（x）＜1；
当x∈（0，π） 且x≠$\frac{π}{2}$时，（x-$\frac{π}{2}$）f′（x）＞0，
∴x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）为单调减函数；x∈[$\frac{π}{2}$，π]时，f（x）为单调增函数，
∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，
在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx和y=f（x）草图象如下，

由图知y=f（x）-sinx在[-3π，π]上的零点个数为4个．
故选：B．

点评 本题考查函数的单调性，考查函数的零点，考查函数的周期性与奇偶性，利用数形结合的思想来求解，会化难为易．