Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e^x}+{x^2}，x≥0\\{e^{-x}}+{x^2}，x＜0\end{array}$，若f（-a）+f（a）≤2f（1），则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]∪[1，+∞）
• B． [-1，0]
• C． [0，1]
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 先判断函数为偶函数，再判断在（0，+∞）上为增函数，即可求出a的范围．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e^x}+{x^2}，x≥0\\{e^{-x}}+{x^2}，x＜0\end{array}$，
∴f（x）为偶函数，
∵f（-a）+f（a）≤2f（1），
∴2f（a）≤2f（1），
∴f（a）≤f（1），
∵当x≥0时，函数f（x）为增函数，
∴|a|≤1，
∴-1≤a≤1，
故选：D

点评 本题考查了分段函数的问题以及函数的奇偶性和单调性，属于中档题．