Question

【题目】设数列的各项为正数，且，数列满足：对任意恒成立，且常数.

（1）若为等差数列，求证：也为等差数列；

（2）若，为等比数列，求的值（用c表示）；

（3）若且，令，求证.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）设，根据题意，求得即可得到数列为等差数列；

（2）由，可得，利用叠加法，求得，再根据为等比数列，即可求得的值；

（3）由，得到，得出递增数列，且，进而求得，结合裂项法，即可求解.

（1）因为为等差数列，设

所以，

因为，所以（常数），所以为等差数列.

（2）因为，且，

可得，

所以，

，

…

，

所以

所以，

因为为等比数列，所以成等比数列，

即，即，解得，

经检验，可得为等比数列，所以.

（3）由，

因为，可得，且，

所以递增数列，且，

所以，

∴.