Question

【题目】已知抛物线的焦点为，直线与轴相交于点，与曲线相交于点，且

（1）求抛物线的方程；

（2）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，求证点的纵坐标为定值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析

【解析】

（1）根据抛物线定义得，再根据点N坐标列方程，解得结果，（2）利用导数求切线斜率，再根据切线方程解得A点纵坐标，最后利用直线与方程联立方程组，借助韦达定理化简的纵坐标.

解：（1）由已知抛物线的焦点 ，

由，得，即

因为点，

所以，

所以抛物线方程：

（2）抛物线的焦点为

设过抛物线的焦点的直线为 ．

设直线与抛物线的交点分别为 ，

由消去得：,根据韦达定理得

抛物线,即二次函数，对函数求导数，得，

所以抛物线在点 处的切线斜率为

可得切线方程为，化简得 ，

同理，得到抛物线在点处切线方程为，

两方程消去，得两切线交点纵坐标满足,

，

，即点的纵坐标是定值．