Question

【题目】设,对于，有.

（1）证明：

（2）令,

证明 ：（I）当时，

（II）当时，

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）（I）见解析;（II）见解析.

【解析】

（1）由分析法可证明，找到成立的充分性。（2）（I）当时，当时，有;再由分析法证明。（II）当时，当时，有 ，再由分析法结合数学归纳法证明。

（1）若，则只需证

只需证成立

只需要证成立，而该不等式在时恒成立…

故只需要验证时成立即可，

而当时，均满足该不等式。

综上所得不等式成立。

（2）、（I）当时，

用数学归纳法很明显可证当时，有;

下证：,

只需要证,

只需证

只需证,

只需证,

只需证.

由（1）可知，我们只需要证,

只需证,只需证.

当时该不等式恒成立

当时，

，故该不等式恒成立

综上所得，上述不等式成立

（II）、当时，用数学归纳法很明显可证当时，有

下证：

只需证: ,

只需证：

只需证：,

只需证：

只需证：,……

同理由（2）及数学归纳法，可得该不等式成立。

综上所述，不等式成立