Question

10．双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左右焦点分别为F₁，F₂，P为右支上一点，且|$\overrightarrow{{PF}_{1}}$|=8，$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=0，则双曲线的渐近线方程是（　　）

• A． y=±2$\sqrt{2}$x
• B． y=±2$\sqrt{6}$x
• C． y=±5x
• D． y=±$\frac{3}{4}$x

Answer 1

分析 根据双曲线的定义可知：丨$\overrightarrow{{PF}_{2}}$丨=6，由$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=0，可得$\overrightarrow{{PF}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{PF}_{2}}$，根据勾股定理可得丨F₁F₂丨=10，求得c，由双曲线a，b和c的关系，求得b，利用双曲线的渐近线方程公式求得双曲线的渐近线方程．

解答 解：由已知a=1，|$\overrightarrow{{PF}_{1}}$|=8，由双曲线的定义可知：丨$\overrightarrow{{PF}_{2}}$丨=6，
又∵$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{{PF}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{PF}_{2}}$，
由勾股定理可知：丨F₁F₂丨=10，
即c=5，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
则渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x=±2$\sqrt{6}$x，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的标准方程，双曲线的定义及其几何性质的应用，勾股定理，考查计算能力，属于中档题．