题目内容

设f（x）= $数学公式$ sinx-cosx
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，若f（A）=1，且2sinB=3sinC，b=3，求△ABC的面积．

解：（1）∵f（x）= $\text{[math]}$ sinx-cosx=2sin（x- $\text{[math]}$ ），
令2kπ- $\text{[math]}$ ≤x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，
可得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，故函数f（x）的单调递增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（2）在△ABC中，若f（A）=1，则有 2sin（A- $\text{[math]}$ ）=1，
∴A- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，A= $\text{[math]}$ ．
由2sinB=3sinC利用正弦定理可得 2b=3c，再由b=3 可得c=2，
∴△ABC的面积S= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为 2sin（x- $\text{[math]}$ ），令2kπ- $\text{[math]}$ ≤x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求出x的范围，即可求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）在△ABC中，由f（A）=1求得 A= $\text{[math]}$ ．由2sinB=3sinC利用正弦定理可得 2b=3c，再由b=3，求得 c=2，从而求得△ABC的面积S= $\text{[math]}$ 的值．
点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，属于中档题．