Question

设f（x）=sinx，g（x）=a+cosx，x∈[0，2π]，若f（x）的图象与g（x）的图象交点的个数有且仅有一个，则a的值为

 

．

Answer 1

分析：本题中x∈[0，2π]，f（x）的图象与g（x）的图象交点的个数有且仅有一个，可以转化为相关的方程sinx=a+cosx，在x∈[0，2π]仅有一个解，进而整理成a=sinx-cosx=

2

sin（x+

π

4

）在x∈[0，2π]仅有一个解，由图象极易得出参数的值．

解答：解：∵f（x）的图象与g（x）的图象交点的个数有且仅有一个，
∴sinx=a+cosx，在x∈[0，2π]仅有一个解，
∴a=sinx-cosx=

2

sin（x+

π

4

）在x∈[0，2π]仅有一个解，
∵y=

2

sin（x+

π

4

）的周期正好是2π
由其图象知，当a的值为

2

或-

2

时a=sinx-cosx=

2

sin（x+

π

4

）在x∈[0，2π]仅有一个解，
即f（x）的图象与g（x）的图象交点的个数有且仅有一个
故答案为

2

或-

2

．

点评：本题考查正弦类函数图象的性质，正确解答本题的关键是将问题进行正确的转化，即将两他函数的图象有一个交点的问题转化为相应的方程有一个根的问题，二者的相互转化给相关题的求解带来了极大的方便，解题时要注意这一技巧的使用．