题目内容

在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C的对边，且a2+b2-c2-ab=0．
（1）求角C；
（2）设f（x）=sinx+
3
cosx，求f（A）的最大值，并确定此时△ABC的形状．
分析：（1）通过已知条件，利用余弦定理求出cosC的值，即可求角C；
（2）化简f（x）=sinx+
3
cosx为一个角的一个三角函数的形式，集合A的范围，直接求f（A）的最大值，求出三角形的三个内角即可确定此时△ABC的形状．
解答：解：（1）因为在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C的对边，且a2+b2-c2-ab=0，
由余弦定理可知cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
1
2
，所以C=
π
3
．
（2）由（1）A∈（0，
2π
3
）且f（x）=sinx+
3
cosx=2sin（x+
π
3
），
∴f（A）=2sin（A+
π
3
），
A∈（0，
2π
3
），∴A+
π
3
∈(
π
3
，π)
∴当A+
π
3
=
π
2
即A=
π
6
时，f（A）=2sin（A+
π
3
），
取最大值2；此时A=
π
6
，B=
π
2
，C=
π
3
，
故三角形是有一个角为30°的直角三角形．
点评：本题考查余弦定理的应用，两角和的正弦函数的应用，三角形的判断，考查逻辑推理能力计算能力．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．则sinA+sinB的最大值是（　　）
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2
在△ABC中，a＜b＜c，B=60°，面积为10
3
cm2，周长为20cm，求此三角形的各边长．
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知
.
m
=(cos
C
2
，sin
C
2
)，
.
n
=(cos
C
2
，-sin
C
2
)，且
m
•
n
=
1
2
．
（1）求角C；
（2）若a+b=
11
2
，△ABC的面积S=
3
3
2
，求边c的值．
在△ABC中，A，B，C为三个内角，若cotA•cotB＞1，则△ABC是（　　）
已知y=f（x）函数的图象是由y=sinx的图象经过如下三步变换得到的：
①将y=sinx的图象整体向左平移
π
6
个单位；
②将①中的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
1
2
；
③将②中的图象的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍．
（1）求f（x）的周期和对称轴；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=2，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．

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