Question

7．在我国古代数学名著《九章算术》中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，AA₁＞AB，堑堵的顶点C₁到直线A₁C的距离为m，C₁到平面A₁BC的距离为n，则$\frac{m}{n}$的取值范围是（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 设AB=1，AA₁=a，利用等面积法和等体积法求出m，n关于a的不等式，根据a的范围得出$\frac{m}{n}$的值．

解答 解：设AB=BC=1，AA₁=a（a＞1），
则AC=$\sqrt{2}$，A₁C=$\sqrt{{a}^{2}+2}$，A₁B=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，且B到平面ACC₁A₁的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴m=$\frac{{A}_{1}{C}_{1}•C{C}_{1}}{{A}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{{a}^{2}+2}}$，S${\;}_{△{A}_{1}BC}$=$\frac{1}{2}$×A₁B×BC=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+1}}{2}$，
∴V${\;}_{{C}_{1}-{A}_{1}BC}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△{A}_{1}BC}$•n=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+1}}{6}$n，
又V${\;}_{{C}_{1}-{A}_{1}BC}$=V${\;}_{B-{A}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{C}_{1}C}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×a×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{a}{6}$，
∴n=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{\sqrt{2{a}^{2}+2}}{\sqrt{{a}^{2}+2}}$=$\sqrt{2-\frac{2}{{a}^{2}+2}}$，
∵a＞1，∴$\frac{4}{3}$＜2-$\frac{2}{{a}^{2}+2}$＜2，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜$\frac{m}{n}$$＜\sqrt{2}$．
故答案为：$（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，\sqrt{2}）$．

点评 本题考查了空间距离的计算，棱锥的体积公式，属于中档题．