Question

如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？

Answer 1

点B在使∠AOB＝的位置时，四边形OACB面积最大

试题分析：在中,由已知OA=2,OB=1,设∠AOB=,则可应用余弦定理将AB的长用的三角函数表示出来,进而四边形OACB面积S＝S_△AOB＋S_△AB表示成为的三角函数,再注意将三角函数化简成为的形式,就可求得使四边形OACB面积最大的角的值,从而就可确定点B的位置.
试题解析：设∠AOB＝α，                      .1分
在△AOB中，由余弦定理得
AB²＝OA²＋OB²－2×OA×OBcos∠AOB
＝1²＋2²－2×1×2×cosα
＝5－4cosα，                      .4分
于是，四边形OACB的面积为
S＝S_△AOB＋S_△ABC＝OA·OBsinα＋AB²               6分
＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)
＝sinα－cosα＋
＝2sin＋.                   .10分
因为0＜α＜π，所以当α－＝，α＝，
即∠AOB＝时，四边形OACB面积最大12分          12分