Question

9．已知a∈R，函数f（x）=alnx-（a+1）x+$\frac{1}{2}{x^2}$．
（1）若函数y=f（x）在x=3处取得极值，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a＜0，且函数y=f（x）有两个不同的零点，求a取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据x=3是函数的极值，求出a的值，求出f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，根据函数的单调性，求出函数的极小值小于0，求出a的范围即可．

解答 解：（1）由题意得，f′（x）=$\frac{a}{x}$-（1+a）+x=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$（x＞0），
由f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a，
若函数y=f（x）在x=3处取得极值，则a=3，
故f（x）=3lnx-4x+$\frac{1}{2}$x²，f′（x）=$\frac{3}{x}$-4+x，
故f（1）=-$\frac{7}{2}$，f′（1）=0，
故切线方程是：y+$\frac{7}{2}$=0，
即y=-$\frac{7}{2}$；
（2）由题意得，f′（x）=$\frac{a}{x}$-（1+a）+x=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$（x＞0），
由f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a
a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）在x=1处取得极小值，
又当x→0时，或x→+∞时，都有g（x）→+∞，
∴f（1）=-a-$\frac{1}{2}$＜0，解得-$\frac{1}{2}$＜a＜0，
综上所述a的取值范围为（-$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．