Question

点M与定点F（2，0）的距离和它到直线x=8的距离之比是1：2．
（1）求点M的轨迹方程（写成标准方程形式）；
（2）设点M的轨迹与x轴相交于A₁、A₂两点，P是直线x=8上的动点，求∠A₁PA₂的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设M（x，y）是轨迹上任意一点，依题意

(x-2)2+y2

|x-8|

=

1

2

，由此能求出点M的轨迹方程．
（2）由（1）得A₁（-4，0）、A₂（4，0），设直线x=8交x轴于Q，根据椭圆的对称性，设P（8，m）（m＞0），由此能求出∠A₁PA₂的最大值．

解答： 解：（1）设M（x，y）是轨迹上任意一点…（1分）
依题意，

(x-2)2+y2

|x-8|

=

1

2

，
即2

(x-2)2+y2

=|x-8|…（3分）
两边平方得，4（x-2）²+y²=（x-8）²…（4分）
化简得点M的轨迹方程为

x2

16

+

y2

12

=1，
∴点M的轨迹方程为

x2

16

+

y2

12

=1．…（6分）
（2）由（1）得A₁（-4，0）、A₂（4，0），…（7分）
设直线x=8交x轴于Q，根据椭圆的对称性，
不妨设P（8，m）（m＞0），
则tan∠A1PQ=

12

m

，tan∠A2PQ=

4

m

…（9分）tan∠A1PA2=tan(∠A1PQ-∠A2PQ)=

tan∠A1PQ-tan∠A2PQ

1+tan∠A1PQ•tan∠A2PQ

…（10分）
=

8m

m2+48

…（11分），
∵m＞0，∴m2+48≥8

3

m…（12分），
∴

8m

m2+48

≤

3

3

…（13分）
∵tanx在区间(0，

π

2

)单调递增，∴∠A₁PA₂的最大值为

π

6

．…（14分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查角的最大值勤的求法，解题时要认真审题，注意正切函数的性质的灵活运用．