Question

已知曲线C：y=4^x，C_n：y=4^x+n（n∈N^*），从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从点P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1），设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）记c_n=，数列{c_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与的大小（n∈N^*）；
（3）记d_n=，数列{d_n}的前n项和为T_n，试证明：（2n-1）•d_n≤T_2n-1≤×[1-]．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意点P_n的坐标为（x_n，y_n+1），然后根据y_n+1==可得x_n+1=x_n+n，然后根据累加法可求出数列{x_n}的通项公式；
（2）先判定S₁，S₂，S₃是否满足条件，然后利用放缩法可知当n＞3时，S_n=+++…+＜++++…+，然后利用等比数列求和可证得结论；
（3）根据d_n=可知d_n+1＜，T_2n-1=d₁+d₂+…+d_2n-1≤++…+=×[1-]，当n≥2，k=1，2，…，2n-1时，有d_k+d_2n-k≥×=2d_n，从而T_2n-1≥×（2n-1）×2d_n=（2n-1）×d_n，从而证得结论．
解答：解：（1）依题意点P_n的坐标为（x_n，y_n+1），
∴y_n+1==，∴x_n+1=x_n+n，（2分）
∴x_n=x_n-1+n-1=x_n-2+（n-2）+（n-1）=…=x₁+1+2+…+（n-1）=+1；（4分）
（2）∵c_n=，由S₁=1＜，S₂=1+=＜，S₃=1++=＜，
∴当n＞3时，S_n=+++…+＜++++…+
=1++×=+-＜+-=（8分）
（3）∵d_n=，所以易证：d_n+1＜，
∴当n≥2时，d_n＜＜＜…＜=，
∴T_2n-1=d₁+d₂+…+d_2n-1≤++…+=×[1-]，（当n=1时取“=”）（11分）
另一方面，当n≥2，k=1，2，…，2n-1时，有：
d_k+d_2n-k=×[]≥×2
==，
又∵4^k+4^2n-k≥2×4ⁿ，∴4²ⁿ-4^k-4^2n-k+1≤4²ⁿ-2×4ⁿ+1=（4ⁿ-1）²，
∴d_k+d_2n-k≥×=2d_n，
T_2n-1≥×（2n-1）×2d_n=（2n-1）×d_n．
所以对任意的n∈N^*，都有：（2n-1）•d_n≤T_2n-1≤×[1-]（14分）
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及放缩法的运用和等比数列求和，同时考查了计算能力，属于难题．