Question

已知曲线C：y=4^x，C_n：y=4^x+n（n∈N+），从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从点P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1），设x₁=1，a_n=x_n+1﹣x_n，．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）记，数列{c_n}的前n项和为T_n，
求证：；
（3）若已知，记数列{a_n}的前n项和为A_n，数列{d_n}的前n项和为B_n，试比较A_n与的大小．

Answer 1

解：（1）依题意点P_n的坐标为（x_n，y_n+1），
∴=，
∴x_n+1=x_n+n，
∴x_n=x_n﹣1+n﹣1=x_n﹣2+（n﹣2）+（n﹣1）=…=x₁+1+2+…+（n﹣1）=．
（2）∵，
∴，
∴当n≥2时，，
∴T_2n﹣1=c₁+c₂+…+c_2n﹣1≤=，（当n=1时取“=”）．
（3）∵a_n=x_n+1﹣x_n=n，
∴，
由，
知，
∴，
而d₁=2，
∴，
于是
=．
∴．
当n=1，2时 ；
当n=3时，
当n≥4时，
下面证明：当n≥4时，
证法一：（利用组合恒等式放缩）
当n≥4时，=，
∴当n≥4时，
证法二：（函数法）∵n≥4时，2n﹣2
构造函数，
[h'（x）]'=h''（x）=1﹣2^xln₂2
∴当x∈[4，+∞）时，h''（x）=1﹣2xln22＜0
∴h'（x）=x﹣2^xln2在区间[4，+∞）是减函数，
∴当x∈[4，+∞）时，
∴在区间[4，+∞）是减函数，
∴当x∈[4，+∞）时，
从而n≥4时，，即2ⁿ﹣2，
∴当n≥4时，．