Question

已知曲线C：y=4^x，C_n：y=4^x+n（n∈N+），从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从点P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1），设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，bn=

yn+1

yn

．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）记cn=

3×5n

2n+2×(bn-1)

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：T2n-1≤

5

3

×[1-(

5

8

)2n-1]；
（3）若已知

d1

2

+

d2

22

+

d3

23

+…+

dn

2n

=2n-1(n∈N*)，记数列{a_n}的前n项和为A_n，数列{d_n}的前n项和为B_n，试比较A_n与

Bn-2

4

的大小．

Answer 1

分析：（1）依题意点P_n的坐标为（x_n，y_n+1），故yn+1=4xn+n=4xn+1，从而能求出数列{x_n}的通项公式．
（2）由cn=

3×5n

2n+2×(4n-1)

，知

cn+1

cn

=

5×4n-5

8×4n-2

＜

5×4n-5

8×4n-8

＜

5

8

，当n≥2时，cn＜

5

8

cn-1＜(

5

8

)2cn-2＜…＜(

5

8

)n-1c1=(

5

8

)n，故T_2n-1=c₁+c₂+…+c_2n-1≤

5

8

+(

5

8

)2+…+(

5

8

)2n-1．由此能够证明T2n-1≤

5

3

×[1-(

5

8

)2n-1]；
（3）由a_n=x_n+1-x_n=n，知An=

n(n+1)

2

，由

d1

2

+

d2

22

+

d3

23

+…+

dn

2n

=2n-1，知

d1

2

+

d2

22

+

d3

23

+…+

dn-1

2n-1

=2(n-1)-1(n≥2)，故

dn

2n

=2，n≥2，由此能够比较A_n与

Bn-2

4

的大小．

解答：解：（1）依题意点P_n的坐标为（x_n，y_n+1），
∴yn+1=4xn+n=4xn+1，
∴x_n+1=x_n+n，
∴x_n=x_n-1+n-1=x_n-2+（n-2）+（n-1）=…=x₁+1+2+…+（n-1）=

n(n-1)

2

+1．
（2）∵cn=

3×5n

2n+2×(4n-1)

，
∴

cn+1

cn

=

5×4n-5

8×4n-2

＜

5×4n-5

8×4n-8

＜

5

8

，…（5分）
∴当n≥2时，cn＜

5

8

cn-1＜(

5

8

)2cn-2＜…＜(

5

8

)n-1c1=(

5

8

)n，
∴T_2n-1=c₁+c₂+…+c_2n-1≤

5

8

+(

5

8

)2+…+(

5

8

)2n-1=

5

3

×[1-(

5

8

)2n-1]，（当n=1时取“=”）．…（8分）
（3）∵a_n=x_n+1-x_n=n，
∴An=

n(n+1)

2

，
由

d1

2

+

d2

22

+

d3

23

+…+

dn

2n

=2n-1，
知

d1

2

+

d2

22

+

d3

23

+…+

dn-1

2n-1

=2(n-1)-1(n≥2)，
∴

dn

2n

=2，n≥2，
而d₁=2，
∴  dn=

2，n=1 2n+1，n≥2

，
于是Bn=d1+d2+d3+…+dn=2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1-4
=

2(2n+1-1)

2-1

-4=2n+2-6．
∴

Bn-2

4

=2n-2．…（10分）
当n=1，2时 An=

n(n+1)

2

＞2n-2=

Bn-2

4

；
当n=3时，An=

n(n+1)

2

=2n-2=

Bn-2

4

当n≥4时，An=

n(n+1)

2

＜2n-2=

Bn-2

4

下面证明：当n≥4时，An=

n(n+1)

2

＜2n-2=

Bn-2

4

证法一：（利用组合恒等式放缩）
当n≥4时，2n-2=

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

-2=

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

＞n+

n(n-1)

2

+n=

n2+3n

2

＞

n(n+1)

2

，
∴当n≥4时，An＜

Bn-2

4

…（13分）
证法二：（函数法）∵n≥4时，

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2?

n(n+1)

2

-2n+2＜0
构造函数h(x)=

x(x+1)

2

-2x+2，x∈[4，+∞)，h′(x)=x-2xln2+

1

2

[h'（x）]'=h''（x）=1-2^xln²2
∴当x∈[4，+∞）时，h''（x）=1-2^xln²2＜0
∴h'（x）=x-2^xln2在区间[4，+∞）是减函数，
∴当x∈[4，+∞）时，h′(x)=x-2xln2+

1

2

＜h′(4)=

9

2

-16ln2＜

9

2

-16×

1

2

=-

7

2

＜0
∴h(x)=

x(x+1)

2

-2x+2在区间[4，+∞）是减函数，
∴当x∈[4，+∞）时，h(x)=

x(x+1)

2

-2x+2＜h(4)=

4×5

2

-24+2=-4＜0
从而n≥4时，

n(n+1)

2

-2n+2＜0，即

n(n+1)

2

＜2ⁿ-2，
∴当n≥4时，An＜

Bn-2

4

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法、不等式的证明和两个表达式大小的比较，具体涉及到数列与不等式的综合运用，放缩法的应用和构造法的应用．